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伍尔索普庄园，艾萨克·牛顿的出生地艾萨克·牛顿（-年）是有史以来最有影响力的思想家之一。他对科学的最重要贡献是他于年出版的《自然哲学的数学原理》一书，在那里他制定了著名的三个运动定律和万有引力定律，它们统治了科学界多年。用著名的天体物理学家和诺贝尔奖获得者钱德拉塞卡的话来说：
只有当我们观察到牛顿成就的规模时，我们才会发现，有时把他与其他科学家作比较，无论是与牛顿相比，还是与其他科学家相比，都是完全不恰当的。”
在数学方面，牛顿“明显地推进了当时数学的每一个分支”，但他最著名的两项发现是广义二项式展开和微积分。
图1：左边是牛顿46岁时的肖像，出自17世纪末18世纪初英国著名肖像画家戈弗雷·克奈尔之手。右边是《原理》第一版的扉页。在这篇文章中，我将重点介绍牛顿早期的数学成就。我将描述他对广义二项式展开的推导，以及他如何应用它来得到正弦函数的幂级数展开。德里克·怀特塞德(DerekWhiteside)被认为是“同时代最重要的数学史学家”，据他说，这是正弦(和余弦)的幂级数首次在欧洲出现。
牛顿的广义二项式展开
牛顿的数学创新是多方面的。但有争议的是，他的出发点是发现了所谓的广义二项式展开，这最早出现在年他写给戈特弗里德·莱布尼茨的一封信中。
图2：牛顿写给莱布尼茨的信，描述了他发现的广义二项式展开，这发生在许多年前。牛顿原始符号中的二项式展开
在牛顿的符号中，展开表示为：
Eq1：牛顿的二项式展开使用他的符号在这个表达式中，A,B,C,D，…表示级数的前几项：
Eq2：在牛顿的原始符号中，A,B，…表示级数的前几项牛顿在书信中中给出的例子是：
Eq3：牛顿在书信中中给出的例子。扩展的前两项是：
第三项依赖于前一项B，类推可得：
这个过程可以无限地继续下去。其结果是：
现代符号表示
我们可以很容易地用现代符号写出二项式展开式。我们首先从公式1的左边提出P项，然后用前面相应的项来代替A、B、C、D、…(参见公式2)：
消去P项，然后分子上的系数除以分母上n的因数，我们得到：
我们可以用二项式系数重写这个表达式。为方便起见，我们将m/n重命名为m，并应用阶乘的性质将展开的系数重写为：
使用二项式系数的标准表示法：
我们得到了现代形式的二项式展开：
Eq4：用现代符号表示的二项展开式牛顿是如何得到二项式展开的？
从英国数学家约翰·沃利斯等人之前的工作中，牛顿知道如何对整数指数进行二项式展开：
Eq5：整数指数的二项式展开，在牛顿之前就知道了下面的图3显示了这些系数的一个有趣的可视化结果。
图3：指数1、2和3的二项式展开的可视化牛顿的目标是扩展公式5，使其包含指数m的非整数值。通过Bressoud，我们可以将系数排列在一个表中，包括非整数值m的扩展的空行：
图4：牛顿之前已知的二项式展开系数表牛顿想要填充这个表格中的空单元格。他的理由如下。
第一列和第二列不难猜。第一个只包含1，第二个随m线性增加。
图5：二项展开的原始系数表，第一列和第二列的空白单元格被填满。现在让我们考虑第三列。首先，我们注意到它只包含三角数(见图6)，可以用简单的公式得到：
Eq6：第i个三角形数的公式。
图6：三角形数的示例。我们还注意到第m行总是包含(m-1)个三角数。更具体地说，m=2行包含第一个三角数，m=3行包含第二个三角数，m=5行包含第四个三角数。将(m-1)代入式6，得到：
Eq7：第三列中值对m的关系。然后我们可以完成第三列：
图7：完成前三列的二项式展开系数表。现在，注意，对于前三列，值是多项式递增的。
第一列是常数(0次多项式)第二列呈线性增长(1次多项式)第三列根据式(2次多项式)二次增加。根据这个模式，牛顿推断第四列应该以三次多项式的形式增加。由于这个未知的多项式在m=0,1和2时消失，所以它的形式必须是：
其中常数a可以得到，例如，使用表的第7行，根据p(3)=1。因此：
然后我们可以填充第四列的空单元格：
图8：前四列填充的二项式展开系数。牛顿的过程现在很清楚了。第5列和第6列对m的依赖关系可以很快得到：
我们终于可以填满整个表格：
图9：表中包含了二项式展开到x的五次方的系数。一般然后表达式是：
Eq7：牛顿二项式展开。(这里使用了之前看到的二项式系数公式)。我们应该注意，引用怀特塞德的话:
矛盾的是，这种瓦利斯插值程序无论多么合理，都绝不能证明，而且牛顿数学方法的中心原则缺乏任何严格的理由。。。当然，二项式定理的工作非常出色，这对17世纪的数学家来说足够了。——怀特塞德
推导了正弦幂级数的幂级数
正弦函数的幂级数的推导在他年的手稿《用无限项的方程分析》中。
图10：一页牛顿年的手稿“用无限项的方程分析”。”。下面的图10(基于Dunham)包含了理解牛顿推导所需要的所有元素，这是一个函数图
Eq8：单位半径圆的右上象限方程。以单位半径描述圆的(象限)。
弧αD等于z(圆半径1)和图10我们获得：
sinZ=X
Eq9:由于圆有一个单位半径，角z的正弦值等于横坐标x。因此，目标是确定x(作为z上的幂级数)。
图10：Eq.8的示意图，包含了求正弦函数的幂展开所需的所有元素。三角形DGH和DBT相似。由于三角形ABD和DBT也是相似的，我们得到：
为了方便起见，这里使用了莱布尼兹记号。使用Eq.8，这个表达式变成：
牛顿的下一步是把二项式展开应用到右边：
现在对式9求逆得到z=z(x)=arcsinx，对上面的二项式展开积分得到：
Eq10：反正弦级数。注意，要得到这个表达式，牛顿所需要的唯一积分是与下列不定积分(或不定积分)相对应的定积分：
其中C是常数。
在他的最后一步中，牛顿必须将(或者更精确地说，反求)Eq.10转换成正弦函数的展开式(而不是反正弦函数的展开式)。为此，他使用了之前开发的许多工具中的一种，即他的反幂级数技术。
应用幂级数求逆得到sinz
式10中要倒转的级数为z(x)，即：
Eq11：级数展开。换句话说，牛顿所追求的是x(z)，即x关于z的幂级数。根据他的策略，我们从以下几个步骤开始：
从第一项开始，这里是x=z将级数表示为x=z+p将x=z+p代入方程11只保留p中的线性项，然后对结果求倒数，得到p关于z的表达式应用策略
更具体地说，我们把级数写成：
Eq12：重新整理方程11中的项。下一步是只保留x中的线性项：
X=Z
Eq13：展开的线性近似。为了解释掉的所有项，牛顿把x写成了一个未知的级数p：
X=Z+P
Eq14：引入未知的p系列来解释线性近似中下降的项。代入式12：
Eq15：原级数设x=z+p。将该表达式展开，将p的幂进行分组，得到：
Eq16：将展开式15分为p次幂。然后牛顿去掉了p的幂大于1的项，然后解出了p：
Eq17：去掉式(16)中大于1的项，求出p的表达式。牛顿只保留了分子的第一项，为了解释掉的项，引入了一个新的未确定的q系列，定义如下：
为了确定q，牛顿把这个新的p代入方程16，只保留了q中的线性项，并解出了q，这就得到了一个类似于方程17(p)的q的表达式，然后，他又一次只保留了分子中最低次的项，得到：
这个过程可以无限地进行。现在从方程9，x=sinz，他最终得到了正弦函数的表达式如下：
方程18：正弦函数的幂级数展开式，直到五阶。其他项可以很容易地按照牛顿的方法得到。
图11：牛顿年对正弦和余弦函数的幂级数的演示。这个结果可以用泰勒级数来推导。然而，牛顿的方法却完全不同。他的推导“提醒我们，数学并不一定是以今天的教科书的方式发展的。”相反，它是由时断时续和奇怪的惊喜发展而来的。”